2013年11月2日 星期六

20131102因數倍數與理化

處理除法的餘數常與「韓信點兵」的題目有關!
其典故如下:
傳漢高祖幸雲夢澤,欲見機擒韓信,但不知其兵數,恐有變,故問︰「卿有兵何?」
信曰︰「兵不知數,三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二。」
高祖不解,問法於張良。良曰︰「兵數無法算,不可數!」
其後雖擒信,但仍不知其解。
《孫子算經》「今有物,不知其數,三三數之,剩二,五五數之,剩三,七七數之,剩二,問物幾何?」
答曰:「二十三」
解曰:「三三數之剩二,置一百四十,五五數之剩三,置六十三,七七數之剩二,置三十,併之,得二百三十三,以二百一十减之,即得。凡三三數之剩一,則置七十,五五數之剩一,則置二十一,七七數之剩一,則置十五,即得。」

在軍隊中,隊伍排列整齊是很重要的。假若在古代以往的排隊不可以有剩餘、多餘的人員,當有多出的人員時要處死、殺頭,那要如何排才好呢?

這些可以剛好排成的長、寬,就是原來總數的因數。從這些因數,再觀察之。

有兩種,
一種是只能排直線,除了直線外,沒有其他的排法。(這就是質數)
另一種是除了排直線外,還有其他的排法。這其他的排法,可從只能排直線的那些數來組成。也因此,「質數」成了重要的元素。古時,稱「質數」為「數根」,就如同理化週期表中的元素般,是構成其他數的要件!

再者,
「加法」在就如同「化學變化」般。例:2+3=5,新元素5,是新質數,特性與原來的元素有差異。
「乘法」在就如同「物理變化」般。例:2×3=6,新元素6,仍存在著原來兩者的特性。

因數與倍數即在研究「正整數的物理變化」。


2013年10月24日 星期四

20131024科學記號為何要這麼定?

數學第一冊1-5談到科學記號,它為何要這麼規定?

從上篇的「次方與位值」可知,初看到一個數,我們為了要分別它不只是數字的排列,故用次方表示這個數字的價值,每一位數都有其價值。

例:abc.de這是個三位數且小數點下有兩位小數的數,a、b、c、d、e,除了a是由1~9的數字組成外,其餘的數則是由0~9所組成的(e考慮其精準度,可為0)。
故可以用ax10^2+bx10^1+cx10^0+dx10^(-1)+ex10^(-2)表示出其數值。

而很大、很小而產生的這個科學符號,不也是要表示這個數值。當一個數很大、很小時,相差的值會有很快速的差距。
例:天文單位1AU=149,597,870,700公尺。1表示「千億」,4表示「百億」,雖然百億很大,但千億更大,兩個相差6百億,故「千億」後之數,列於小數點後,等待需要時再使用。而不像較小的數10與4的差,兩個數只相差6,與原來的10、4接近。故以其最前一個數來表示,而後面的次方就是表示這個數的位值。多大、多小,不就一目了然。

有了這個認知,那科學記號的四則運算,又有何難,不就和國小計算萬位以下的方法相同嗎?
加減,要相同的「位值」才能加減,不是嗎?(百位要和百位對齊才能相加、十位對十位、個位對個位、…)
乘除,前方的數字用數字的方法來相乘除,後方的次方用指數律來處理,不是嗎?



2013年10月22日 星期二

20131022次方位值與方言

一年級上冊數學1-5談到的是次方與位值,從國小所學小數點由小至大,中國古代的【孫子算經】一書中有記載:「 凡大數之法,萬萬曰億,萬萬億曰兆,萬萬兆曰京,萬萬京曰垓(讀做 ㄍㄞ),萬萬垓曰秭(讀做 ㄗˇ),萬萬秭曰穰(讀做 ㄖㄤˊ),萬萬穰曰溝,萬萬溝曰澗,萬萬澗曰正,萬萬正曰載。」所謂數字的單位「個、十、百、千、萬、億、兆、京、垓、秭、穰、溝、澗、正、載、極、恆河沙、阿僧祇、那由他、不可思議、無量、大數、…」等。

數是由0~9這十個數字所組成。若如電話號碼般,各個不相關,這只是「數字」的排列。然而,數值就不同了。給一個數,除了從語言念出其數字大小,這第一段中談到的數值單位要讓人記得清楚順序,一般人可能要花很長的時間。當然日常生活並不會用到「兆、京」以上的名稱。為了那些大數,數學就以次方來代替這些複雜的稱呼。
個,十的零次方;十,十的一次方;百,十的二次方;千,十的三次方;萬,十的四次方;…等,依此類推。這化繁為簡的工夫在此又做了一次見證!

==================================

讓言語表達單純,也能在溝通上能夠順利。

國家教育不應該對「異」來提倡,讓民間各有需求者來各取所需應該較為適當。異並非不好,在有一核心之下這「異」才有意思。老子道德經第11章「三十輻共一轂,當其無,有車之用」不也可以用於此處解釋。

秦皇「書同文,車同軌,統一度量衡」的政策總認為是大遠見,是在為人與人之間的溝通做橋樑。聽聽看,現在除了「國語」外已有相當多的語言,又加上了眾多的外來語。若將這「國語」去除,或每個人都有自己的一種語言,大夥都說自己的語言,那不知兩個人要如何溝通?

這...也真的要以「心」會意了



2013年10月3日 星期四

20131003三級運算符號(三國演義)

數的運算是先有「加法」,將加法濃縮而有了乘法,再將乘法濃縮而有了指數。以食品而言,加法是天然食品,乘法是一級加工品,指數是二級加工品。我們的身體在同時間遇到這些物品要處理時,要從加工愈多次的物品來處理,因為加工愈多毒性愈強。
換句話也能說,濃縮過的物品不能直接使用,要先處理過,再使用。

這三種運算法,以「分配律」來說,就是上述表格的最後一欄。
它有其便利性
例:處理大量的物品時,將其分成若干細部處理。
或處理不同的物品時,找出可以同時處理的部分,一同處理。

【將大量物品分成若干部分的處理】舉個實例:
阿仁搬運公司請了6個工人搬30公斤的米袋,每人一次搬一包,第一次搬了9趟休息,第二次搬7趟休息,第三次搬4趟而搬完,則共搬了幾包米?共搬了幾公斤的米?
小靜打掃房子,每天整理垃圾花了5分鐘,掃地花了10分鐘,擦地花了30分鐘,一個星期共花了多少時間在掃地?花了多少時間在打掃

分配律是連結兩個運算法的一個途徑,將這三者兩兩配對。發現,乘對加、指數對乘,是我們所常見的「分配律」運算過程,而這越級的指數對加,也因為牛頓的發現(二項式定理,即第三冊的乘法公式)而讓整個有「完美」的結果。

能操作這三者,也算知道「三國演義」,也算是會玩「三國志」吧!

2013年9月27日 星期五

20130927整數乘法之鑑古往今來

含有負數的乘法,是難以令人瞭解的。為何正正得正?為何負負得正?為何負正得負?為何正負得負?

課本常用水位的上升與下降來說明,在「數學老師讀國文」的《附錄一》數學與人生,也有談到。不過,用數線的方式也可以很方便的來解釋它。

首先說明,面向東為正、面向西為負,前進為加、退後為減。
再令a、b皆為正整數。其中a、b代表以步數a,連續走b次。

則0+(+a)+(+a)+(+a)=(+a)×(+3)
0+(+a)+(+a)+(+a)+(+a)+(+a)=(+a)×(+5)
0+(+a)+…+(+a)+(+a)=(+a)×(+b)以步數a面向東,連續前進b次後,所到的位置
結果為+ab

則0-(+a)-(+a)-(+a)=(+a)×(-3)
0-(+a)-(+a)-(+a)-(+a)-(+a)=(+a)×(-5)
0-(+a)-…-(+a)-(+a)=(+a)×(-b)以步數a面向東,連續後退b次後,所到的位置
結果為-ab 

則0+(-a)+(-a)+(-a)=(-a)×(+3)
0+(-a)+(-a)+(-a)+(-a)+(-a)=(-a)×(+5)
0+(-a)+…+(-a)+ (-a)=(-a)×(+b)以步數a面向西,連續前進b次後,所到的位置
結果為-ab

則0-(-a)-(-a)-(-a)=(-a)×(-3)
0-(-a)-(-a)-(-a)-(-a)-(-a)=(-a)×(-5)
0-(-a)-…- (-a)-(-a) =(-a)×(-b)以步數a面向西,連續後退b次後,所到的位置
結果為+ab



《圖一》
此以今日為「基準」,能預知未來的數,也能推算出過去的數。這不就和算命師具有相同的能力了嗎!