20140502百分位數

 

20140321比與比值，差一字，有差

 

20140227解方程組與體育

二元一次聯立方程式的解法也已經上了一週半了；會的，補習班早早就上過了，老早就會了，眼神能夠不出現不屑、輕蔑，而能在學校上課不吵鬧，再一次確認方法的，學習態度算是好的。沒上過補習班，而能在課堂上學會的，也算能專心。不過仍需要花時間熟練。

學習需要技巧，需要有自己主動想要學好的想法，才會「動動腦」，這個想法的來源，在以往是「通過聯考」；能進入一流的學校，就是比別人厲害，這是推動自己學習的力量之一。現在，則是要「發展動機」；只是，要對抽象的事物「發展動機」，是有難度！

尤其是自認為體育強，學科就理所當然不會而「畫地自限」的同學們。不過，個人倒不這麼認為，體育強，表示身體協調性佳，學習能力怎會不好；不好的是沒有耐心、沒有穩定性，當然無法累積數學工夫！今天問了同學最喜歡什麼課程？答：電腦、體育。所以就用體育的賽跑術語來談談「解方程組」的方法吧！

20140217函數與因果

 

20140215質數與互質

 

20140104移項法則與奈何橋

一年級的第三章是一元一次方程式，這是國中學習代數的開始，雖然國小有學習過，但使用新的代號、新的符號，仍須要時間習慣。習慣時間的長與短，其分別就在每個人接觸的頻繁多寡，再來就要看其接受度的高低來決定了！

移項法則是由等量公理來的，都是「解方程式」的方法。「加法」移項變「減法」、「減法」移項變「加法」、「乘法」移項變「除法」、「除法」移項變「乘法」。但這相等的觀念難以在等式中直接看出，是需要不斷的練習並熟悉它，才能快速處理並無有錯誤。

自任教以來，我一直都是用「奈何橋」的方式來看待。然而，在說明時要注意：改變的是「運算符號」而不是「性質符號」。

以下粗體字摘自《維基百科》

奈何橋在中國道教觀念中，是陰間的出入口，奈何為梵文地獄（Naraka）的音譯。而奈何兩字在中文裡，亦正好有無可奈何之意思。

傳說死者到奈何橋，生前犯罪的是過不去的，要被兩旁的牛頭馬面推入「血河池」遭受蟲蟻毒蛇的折磨，而行善之死者過橋，卻非常簡單。

奈何橋是鬼魂歷經十殿閻羅的旅途後準備投胎的必經之地，在這會有一名稱作孟婆的年長女性神祇，給予每個鬼魂一碗孟婆湯以遺忘前世記憶，好輪迴到下一世。

橋就是等號(＝)。在陽世間的不法所得(加)，雖說所得，在過橋之後實際上就是損失(減)。而世間上令人難以理解的「吃虧就是佔便宜」這句話，也能輕易明白；在人世間雖然吃虧(減)，過橋之後，也就知道其實是佔了便宜(加)。乘與除的方式亦然。

判斷過橋的加減乘除的變化，其實就是要謹慎，它就如同判官在斷案般，隨意的對待，造成誤會、冤獄，最終的結果必不會是正確的。

  

為何常有家長會對國小升國中後的成績落差產生質疑。國小成績蠻高的，國中怎會一落千丈？尤其是「數學」。簡單來說，國中與國小不同的是：處理的過程要注意的細項變多了。從只有正整數的四則運算，到有負號的運算。需要注意的就從單一項，變為二項，雖說二項其實不然！接觸的越多，要處理、注意的細項就越多，雖然小學注意了不少細項，但「負數」加入之後，實際上注意的事就要變成二倍了！

況且，「解方程式」步步要小心，所謂「一步錯步步錯」，在錯誤之後的過程，終不會到達所要到的目的。所以「多工」需要升級，處理的對與錯，快與慢，不是隨隨便便的態度就能完成，這就是國小與國中不一樣的地方。

20131119一刀兩斷真分數

原來世界上只有自然數，也就是上帝賜予的所有數都是完整的、無缺的，生活運用及使用上皆便利且無不妥。然，人的疏忽、不小心中，漸有損壞。所謂「成住壞空」，在「壞」之時，也就回歸於空，而這佔大多數人為成分的破壞，導致了殘缺。要物盡其用，盡物之用，也就有了分數。

整數是在對完整數的運用；分數則是對短缺數的運用

完整的數，整數的四則運算，例：6與2的四則運算

不是完整的數，例：五分之一；五分之6與五分之2的四則運算

運算方法雷同，只是處理的大小有異。因為大小的多元，也就有了更多的變化。

註：除法與分數，意義原本不同。然，結果相同，故連結之！

20131113弧度勿忘圓心角

弧的度數是由圓心角來的。這個最原始、最基礎的來源，通常會讓人忘記。尤其在學過其他因圓(「因緣」)所產生出來的角後，圓周角、弦切角、圓內角、圓外角…等。因為圓上的弧度處理這些複雜角度的便利、順手。故常忘了其代表的初衷。

也因便利的程度有差別，故「圓心角」被忽略了。

例：如圖，兩條平行線 L1 和 L2 在圓上截出AC弧和BD弧，說明：AC弧=BD弧。

利用圓周角的方式，非常便利，如上。假若沒有圓周角，以最初之圓心角的方式來說明？可以嗎？

當然可以，如下，用二年級的平行觀念，加上最初的圓心角(還可以想到其他方式！)。但是，卻複雜多了！我們多數人的選擇，都是用「圓周角」。

忘了圓心角了嗎？可別忘了，因為，「弧度是圓心角」來的！

「圓心角」從圓心出發加上等長的半徑。(生太極)(等長、平等、)

「圓周角」則在圓周上參與的兩條弦有長有短(另問：兩弦相等、兩弦為直徑時如何？)，但都在圓內。(有長短)(偏心)

「弦切角」已有一角的邊在圓之外了。(有內外)(見外、小團體)

「圓內角」與「圓心角」很像，容易搞混。在我們的「內」「心」中，都有些不相似又不確定的事物在困擾著我們。(假幣、假油、真混於假中、假中亦有真…)

「圓外角」在圓外。就像我們身為一個旁觀者來看這個圓一般。(此心、彼角；相對、…)

國三生，學到這，你還會記得「弧度是圓『心』角」來的嗎？

20131112弧的第二意義

弧是圓的一小部分，以往弧所表示的是長度，例：圓的AB弧(　)，它會因半徑不同，弧的長度不同，而有不同的值，從圓周長所佔的比例大小算出，故一弧長有其唯一的表示值。

在三年級數學課程中，圓的弧除了弧長外有了第二種意義，就是表示弧的度數。它如同「角」度的寫法，表示的亦如同我們張開口時，開口的大小。

然而，將它表示在大圓上的弧與小圓上的弧上，如上圖，若不將半徑畫出，很難不讓人誤解。在看起來不同的地方卻有相同數值的表示，這是會令人混淆不清的。

吾並不認為它真的是表示度數，只是利用寫在弧上的方式來註記所代表圓心角角度的一種方式。雖然可以在過程運用上更方便行事，但也需要更細心避免混亂、誤解。

20131111相似與全等「同謂之玄」

相似是以「~」表示，它表示兩物、兩圖「看起來相同」。以數學幾何來說，利用其對應的「角度」與「邊長」來做判斷。

當對應邊長成比例、對應角度相等，此時，這兩相比較之物、圖，就稱為相似。於此，「全等」為相似之一特例。亦即當相似，邊長的比例為1：1時，即為全等(以符號「~+=」表示)

三角形三邊三角共有六種狀況：AAA、ASA、AAS、SSS、SAS、SSA。

全等是二年級課程有SSS、SAS、RHS(SSA特例)、AAS、ASA、無AAA，共有五種狀況。

相似是三年級課程有AAA、SSS、SAS另三者則可歸納於其中，

例：ASA、AAS歸於AAA

例：RHS則歸於SSS（因畢氏定理）

相似並非全等，但全等則必相似

道德經中「同謂之玄，玄之又玄，眾玅之門」即是欲在這眾多的相似中，找到那相同的東西啊！

20131107質數與靈性

質數是很特別的一個數，古時中國數學家稱它為「數根」，意思就是它在乘法運算中是構成其他元素的數。亦即任給一個正整數，這個數若不是質數，它就可以用乘法將其分解、拆解成質數的乘積。這就是國中與國小在同一單元而學到不同的觀念、方法之處；「標準分解式」。有了它，讓我們更便利的看出、找到一個整數的來源、構成的原料。

例：5是質數，它只能分成1×5，沒有其他的分解法。

例：4不是質數(另稱合數)，它可以用質數2組成，亦即4=2×2。而2是質數。

(分解出相同的數要用「指數」的方式表示)

再看大一些的數

例：37是質數，它只能分成1×37，沒有其他的分解法。

例：30是合數，它可以用2、3與5合成，亦即30=2×3×5。而2、3、5是質數。

以此來看「質數」，它像「整數」的祖先一般；將這「質數」譬喻成不同的「人」，這看到外表的這個數字，就是人的外貌，而沒看到的那個「1」就是人的「靈性」。所有的數，在分解的過程中，都必有「1」的存在。這「1」既不是質數，也不是合數，可以說是「太極之數」！老子《道德經》第四十二章：「道生一，一生二，二生三，三生萬物」。又宋儒周敦頤《太極圖說》：「無極而太極，太極動而生陽，動極而靜，靜而生陰，靜極復動，一動一靜，互為其根，分陰分陽，兩儀立焉。」

還在懷疑人們中靈魂、靈性之「有、無」嗎？

20131102因數倍數與理化

處理除法的餘數常與「韓信點兵」的題目有關！

其典故如下：

傳漢高祖幸雲夢澤，欲見機擒韓信，但不知其兵數，恐有變，故問︰「卿有兵何？」

信曰︰「兵不知數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。」

高祖不解，問法於張良。良曰︰「兵數無法算，不可數！」

其後雖擒信，但仍不知其解。

《孫子算經》「今有物，不知其數，三三數之，剩二，五五數之，剩三，七七數之，剩二，問物幾何？」

答曰：「二十三」

解曰：「三三數之剩二，置一百四十，五五數之剩三，置六十三，七七數之剩二，置三十，併之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三數之剩一，則置七十，五五數之剩一，則置二十一，七七數之剩一，則置十五，即得。」

在軍隊中，隊伍排列整齊是很重要的。假若在古代以往的排隊不可以有剩餘、多餘的人員，當有多出的人員時要處死、殺頭，那要如何排才好呢？

這些可以剛好排成的長、寬，就是原來總數的因數。從這些因數，再觀察之。

有兩種，

一種是只能排直線，除了直線外，沒有其他的排法。(這就是質數)

另一種是除了排直線外，還有其他的排法。這其他的排法，可從只能排直線的那些數來組成。也因此，「質數」成了重要的元素。古時，稱「質數」為「數根」，就如同理化週期表中的元素般，是構成其他數的要件！

再者，

「加法」在就如同「化學變化」般。例：2+3=5，新元素5，是新質數，特性與原來的元素有差異。

「乘法」在就如同「物理變化」般。例：2×3=6，新元素6，仍存在著原來兩者的特性。

因數與倍數即在研究「正整數的物理變化」。

20131024科學記號為何要這麼定？

數學第一冊1-5談到科學記號，它為何要這麼規定？

從上篇的「次方與位值」可知，初看到一個數，我們為了要分別它不只是數字的排列，故用次方表示這個數字的價值，每一位數都有其價值。

例：abc.de這是個三位數且小數點下有兩位小數的數，a、b、c、d、e，除了a是由1~9的數字組成外，其餘的數則是由0~9所組成的(e考慮其精準度，可為0)。

故可以用ax10^2+bx10^1+cx10^0+dx10^(-1)+ex10^(-2)表示出其數值。

而很大、很小而產生的這個科學符號，不也是要表示這個數值。當一個數很大、很小時，相差的值會有很快速的差距。

例：天文單位1AU=149,597,870,700公尺。1表示「千億」，4表示「百億」，雖然百億很大，但千億更大，兩個相差6百億，故「千億」後之數，列於小數點後，等待需要時再使用。而不像較小的數10與4的差，兩個數只相差6，與原來的10、4接近。故以其最前一個數來表示，而後面的次方就是表示這個數的位值。多大、多小，不就一目了然。

有了這個認知，那科學記號的四則運算，又有何難，不就和國小計算萬位以下的方法相同嗎？

加減，要相同的「位值」才能加減，不是嗎？(百位要和百位對齊才能相加、十位對十位、個位對個位、…)

乘除，前方的數字用數字的方法來相乘除，後方的次方用指數律來處理，不是嗎？

20131022次方位值與方言

一年級上冊數學1-5談到的是次方與位值，從國小所學小數點由小至大，中國古代的【孫子算經】一書中有記載：「 凡大數之法，萬萬曰億，萬萬億曰兆，萬萬兆曰京，萬萬京曰垓（讀做 ㄍㄞ），萬萬垓曰秭（讀做 ㄗˇ），萬萬秭曰穰（讀做 ㄖㄤˊ），萬萬穰曰溝，萬萬溝曰澗，萬萬澗曰正，萬萬正曰載。」所謂數字的單位「個、十、百、千、萬、億、兆、京、垓、秭、穰、溝、澗、正、載、極、恆河沙、阿僧祇、那由他、不可思議、無量、大數、…」等。

數是由0~9這十個數字所組成。若如電話號碼般，各個不相關，這只是「數字」的排列。然而，數值就不同了。給一個數，除了從語言念出其數字大小，這第一段中談到的數值單位要讓人記得清楚順序，一般人可能要花很長的時間。當然日常生活並不會用到「兆、京」以上的名稱。為了那些大數，數學就以次方來代替這些複雜的稱呼。

個，十的零次方；十，十的一次方；百，十的二次方；千，十的三次方；萬，十的四次方；…等，依此類推。這化繁為簡的工夫在此又做了一次見證！

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讓言語表達單純，也能在溝通上能夠順利。

國家教育不應該對「異」來提倡，讓民間各有需求者來各取所需應該較為適當。異並非不好，在有一核心之下這「異」才有意思。老子道德經第11章「三十輻共一轂，當其無，有車之用」不也可以用於此處解釋。

對秦皇「書同文，車同軌，統一度量衡」的政策總認為是大遠見，是在為人與人之間的溝通做橋樑。聽聽看，現在除了「國語」外已有相當多的語言，又加上了眾多的外來語。若將這「國語」去除，或每個人都有自己的一種語言，大夥都說自己的語言，那不知兩個人要如何溝通？

這...也真的要以「心」會意了

20131003三級運算符號(三國演義)

數的運算是先有「加法」，將加法濃縮而有了乘法，再將乘法濃縮而有了指數。以食品而言，加法是天然食品，乘法是一級加工品，指數是二級加工品。我們的身體在同時間遇到這些物品要處理時，要從加工愈多次的物品來處理，因為加工愈多毒性愈強。

換句話也能說，濃縮過的物品不能直接使用，要先處理過，再使用。

這三種運算法，以「分配律」來說，就是上述表格的最後一欄。

它有其便利性

例：處理大量的物品時，將其分成若干細部處理。

或處理不同的物品時，找出可以同時處理的部分，一同處理。

【將大量物品分成若干部分的處理】舉個實例：

阿仁搬運公司請了6個工人搬30公斤的米袋，每人一次搬一包，第一次搬了9趟休息，第二次搬7趟休息，第三次搬4趟而搬完，則共搬了幾包米？共搬了幾公斤的米？

小靜打掃房子，每天整理垃圾花了5分鐘，掃地花了10分鐘，擦地花了30分鐘，一個星期共花了多少時間在掃地？花了多少時間在打掃？

分配律是連結兩個運算法的一個途徑，將這三者兩兩配對。發現，乘對加、指數對乘，是我們所常見的「分配律」運算過程，而這越級的指數對加，也因為牛頓的發現(二項式定理，即第三冊的乘法公式)而讓整個有「完美」的結果。

能操作這三者，也算知道「三國演義」，也算是會玩「三國志」吧！

20130927整數乘法之鑑古往今來

含有負數的乘法，是難以令人瞭解的。為何正正得正？為何負負得正？為何負正得負？為何正負得負？

課本常用水位的上升與下降來說明，在「數學老師讀國文」的《附錄一》數學與人生，也有談到。不過，用數線的方式也可以很方便的來解釋它。

首先說明，面向東為正、面向西為負，前進為加、退後為減。

再令a、b皆為正整數。其中a、b代表以步數a，連續走b次。

則0＋(＋a)＋(＋a)＋(＋a)=(＋a)×(＋3)

0＋(＋a)＋(＋a)＋(＋a)＋(＋a)＋(＋a)=(＋a)×(＋5)

0＋(＋a)＋…＋(＋a)＋(＋a)＝(＋a)×(＋b)以步數a面向東，連續前進b次後，所到的位置

結果為＋ab

則0－(＋a)－(＋a)－(＋a)=(＋a)×(－3)

0－(＋a)－(＋a)－(＋a)－(＋a)－(＋a)=(＋a)×(－5)

0－(＋a)－…－(＋a)－(＋a)＝(＋a)×(－b)以步數a面向東，連續後退b次後，所到的位置

結果為－ab 

則0＋(－a)＋(－a)＋(－a)=(－a)×(＋3)

0＋(－a)＋(－a)＋(－a)＋(－a)＋(－a)=(－a)×(＋5)

0＋(－a)＋…＋(－a)＋ (－a)＝(－a)×(＋b)以步數a面向西，連續前進b次後，所到的位置

結果為－ab

則0－(－a)－(－a)－(－a)=(－a)×(－3)

0－(－a)－(－a)－(－a)－(－a)－(－a)=(－a)×(－5)

0－(－a)－…－ (－a)－(－a) ＝(－a)×(－b)以步數a面向西，連續後退b次後，所到的位置

結果為＋ab

《圖一》

此以今日為「基準」，能預知未來的數，也能推算出過去的數。這不就和算命師具有相同的能力了嗎！

20130918去括號與團體觀

2013/9/18在中秋節連假前，和班上同學上了放假前的這節數學課程。剛好上到「去括號」，雖然簡單，但這去括號是什麼原理呢？隱約聽到「正正得正」「負負得負」，一聽就知道，這是補習班老師所指導的方法，也是要同學背誦的方式。雖然沒錯，但真的只有這樣嗎？

－（ａ＋ｂ）＝－ａ－ｂ＝（－ａ）＋（－ｂ）

它原來的意思是，「兩個數相加後，取相反數」與「兩個數取相反數後，相加」是相等的。它有先後順關係，細部來看，全部與個別是有關係關連的。

就如同先前提到「瞎子摸象」一篇文所談，「全體的象，可以由部分拼湊而得」，而若將「部分視為全體，則就什麼都不像了」

-(a1+a2+a3+...+an)=(-a1)+(-a2)+(-a3)...+(-an)=-a1-a2-a3...-an

就如同一個班級、一個團體，皆是一個整體。整體的規定是適用在每個人的身上。

當有人違反規定，打破規定，破壞規矩，那結果就會與先前的目的不同，雖然只有一個人，這一個人就會影響到全體的答案，既然答案錯了，所做的規範也就無效。

故若沒有團體的觀念，就容易成為害群之馬，容易成為亂源。

而能找到這錯誤、知道這是非對錯者，也實在是不容易啊！

零與分零

 

函數中的變數與常數

國一數學第四章函數，與之前的二元一次方程式有些雷同，但又有些不同，其差異在哪？很多學生搞不清楚，但人生經歷又不足，說了可能不懂，不說又不行，只好，盡量的解釋說明了。

函數Function，書本常會以一個「機器」來比喻，將一個物品x放入這個機器中，它將會產生製造出一個成品。以宗教的因果律來說，就是有「因」必有「果」。

若x是「因」，則F(x)就是「果」，比起二元一次方程式來說，一個有先後順序，一個則無先後順序。

談到塵世間的事，離不開因果。因與果是隨時都在改變的，會變化稱為變數，因不同，果就不同；故先有因，稱為自變數，再有果，稱為應變數。因果的決定，誰是因什麼是果及起源的找尋，就是在這些練習之中來訓練的。若沒有這些訓練，常常只要稍微「耍一下嘴皮子」就可以倒果為因，或找些與此因果無關的事件來轉移，胡弄別人了！

雖說函數一直變，但是有這「常數函數」，例：F(x)=7；也就是x=300000，F(300000)=7；x=30，F(30)=7，為何因不同，果卻相同呢，這又該如何解釋說明啊！「常」就是不變，這就與「心」有相關了。怎麼說呢？一個千萬富翁捐了30萬，與一個小孩捐了30元，結果是？事實上，這並不是以金錢多寡來衡量的結果，「常」數函數應以「常」的方式來說明，也就是依善念來說它是相同的，都是一個捐獻的動作。然而，假若以「純度」來說的話，可能千萬富翁的30萬還不如小孩的30元呢！

有云：人與菩薩無異，只是「菩薩畏因，眾生畏果」這句話也就值得我們深思維。